11 Sınıf Matematik Deney Sonuçları ve Teorik Beklentiler Olasılıkta Gerçek ve Hesap şar

Olasılıkta “gerçek deney sonuçları” ile “teorik beklentiler” arasındaki farkı anlamak, konuyu hem kavramsal hem de pratik yönüyle yönetmenin anahtarıdır. Teorik olasılık, varsayımlarımıza dayalı bir modelle sonucu hesaplamamızı sağlar. Örneğin, adil bir madeni paranın “yazı” gelme olasılığı P(Y) = 1/2, adil bir zarın 4 gelme olasılığı P(4) = 1/6, bir torbadaki 8 mavi ve 5 sarı topun mavi gelme olasılığı P(Mavi) = 8/13 olarak yazılır. Bu hesaplamalar doğru varsayımlar (paranın adil olması, zarın 6 yüzlü olması, torbadaki topların homojen ve gözlem sonucu değişmemesi) altında tutarlıdır. Gerçek deney sonuçları ise frekans temelli bir kavrama dayanır. n deneyde ilgilendiğiniz olayın gerçekleşme sayısı f ise f/n değerine “göreli frekans” denir. Büyük n değerlerinde bu göreli frekans, teorik olasılığa “yakınsama” gösterir. Bu büyük sayılar yasasının özüdür: yeterince tekrarlandığında, adil bir sonuç beklentimiz olan 0,5’e gittikçe yaklaşır. Bir deneyde 30 atışta yazı 16, 100 atışta yazı 49, 1000 atışta yazı 505 bulduğunuzu düşünün: göreli frekanslar sırasıyla 0,533; 0,49 ve 0,505 olur. Bu değerler 0,5’e yakınsıyor; deneme sayısı arttıkça dalgalanmalar (varyans) azalıyor. İkinci sınıfta göreceğimiz bir bağımsız olaylar örneği, aynı anda iki zar atma deneyidir. Bağımsızlık, P(A∩B) = P(A)·P(B) denkliğini sağlar: “Birinci zar 2 ve ikinci zar 3 gelme” olasılığı (1/6)*(1/6)=1/36’dır. Oysa “en az bir 2 gelme” durumu toplam 11 tercih içinde 1/6 eder: P(en az 1 tane 2)=1/6. Bağımlı olaylar için toplam olasılık yasasını ve koşullu olasılığı kullanırız; P(A|B)=P(A∩B)/P(B) ilişkisi yeni bilgi (B gerçekleşti) altında A’nın olasılığını günceller. Örnek 2: Zar deneyi. n=72 atışta beklenen sıklıklar eşit dağıldığında her sayı için 12 olmalıdır. Gerçekte 1:14, 2:10, 3:11, 4:12, 5:13, 6:12 bulduğunuzda sapma yönleri nispeten dengeli olduğu için adillik şüphesi güçlü değildir. Sapmayı niceliksel olarak değerlendirmek isterseniz, beklenen–gözlenen farklarının karelerinin toplamını beklenen değerlerle karşılaştıran ki-kare testine göz atabilirsiniz. Örnek 3: Torba örneği. Torbada 8 mavi ve 5 sarı top vardır. Mavi için teorik olasılık 8/13≈0,615; 100 çekimde beklenti 61,5’dur. Gözlemde 60 mavi geldiyse, göreli frekans 0,60; hata oranı sadece -0,015’tir. Eğer 45 çekimde mavi 20 gelmişse, göreli frekans≈0,444; sapma yüksektir ve modelin doğruluğunu sorgulamak için torbadaki bileşim, çekim sonrası iade edilip edilmediği ve örnekleme hataları tekrar gözden geçirilmelidir. Teorik beklenen değer E[X] ise, tekrar sayısı arttıkça örneklem ortalamasının E[X]’e yaklaştığını (büyük sayılar yasası) öğretir. Disiplin ve veri kültürü, ölçüm–karşılaştırma–varsayımı güncelleme döngüsüyle öğrenilir. Gerçek veri ile modeliniz arasındaki farkı anlamak, yalnızca sınav başarısı değil, bilimsel düşüncenin de çekirdeğidir.