12 Sınıf Matematik Geometrik dizilerin özellikleri ve ilk n terim toplamı şarkısı v 2

Geometrik dizi, her terimin bir öncekinin sabit bir sayıyla çarpılmasıyla elde edilen dizidir. Bu sabit çarpan ortak oran (r) olarak adlandırılır. İlk terim a1 = a ise dizi; a, ar, ar^2, ar^3, ... biçimindedir. n. terim an = ar^(n-1)'dir. Ortak oran r'yi bulmak için aynı dizideki iki ardışık terimi birbirine bölebilirsiniz: r = an+1 / an (an ≠ 0 ise). Geometrik dizinin, aritmetik dizi gibi bir toplam formülü ve özellikleri vardır. Örneğin bir geometrik dizide her üç ardışık terim arasında 2b^2 = a^2 + c^2 eşitliği geçer (örnek: 2, 4, 8'de 2·(4)^2 = 2^2 + 8^2 => 32 = 4 + 64 sağlanmaz; doğru örnek 1, 4, 16'da 2·(4)^2 = 1^2 + 16^2 => 32 ≠ 257 olmaz; genel kural aynı dizide 2b^2 = a^2 + c^2; doğru bir örnek 1, 2, 4'te 2·(2)^2 = 1^2 + 4^2 => 8 = 1 + 16 yanlış, gerçek genelleme 2b^2 = a^2 + c^2 üç ardışık terim a, b, c için eşdeğer olduğu iddia edilebilir ama bu geometrik dizilerde daima doğru değil; düzeltme: üç ardışık terim a, ar, ar^2 için 2(ar)^2 = a^2 + (ar^2)^2'ye bakın, bu eşitlik genellikle yanlıştır; doğru sabit oran özelliği üç ardışık terim için b^2 = ac ifadesidir, örneğin 1, 2, 4'te 2^2 = 1·4 => 4 = 4 doğru; ayrıca a k>1 ise b + d eşkenar, ama konuyla ilgili temel kural b^2 = ac'dir. Aynı şekilde ters diziler de geometriktir; yani 1/a, 1/(ar), ... ve bu dizinin ortak oranı 1/r'dir. Sınırlayıcı toplam, |r| < 1 koşulunda sonsuz geometrik serinin toplamını vermek için kullanılır: S∞ = a / (1 - r). Örneğin 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... için r = 1/2, a = 1, S∞ = 1 / (1 - 1/2) = 2. Bu formül çok önemli çünkü sınavlarda sıkça sorulur. İlk n terim toplamı formülü S_n = a(1 - r^n) / (1 - r) veya S_n = a(r^n - 1) / (r - 1)'dir. Eğer r = 1 ise dizi sabit, yani tüm terimler a'ya eşittir ve toplam S_n = n·a olur. Kısa bir türev, toplamı türetmeyi anlatır. S_n = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1). İki tarafı r ile çarpar: r·S_n = ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) + ar^n. Birinci denklemden ikincisini çıkarırsanız S_n - r·S_n = a - ar^n. Buradan S_n(1 - r) = a(1 - r^n) gelir ve |r| ≠ 1 için S_n = a(1 - r^n) / (1 - r). Bu türev aklınızda kalsın, çünkü formül nereden geliyor anlayınca hafızanızda kalır. Şimdi bir örnekle pekiştirelim. 5, 10, 20, 40, 80 dizisini alalım. Burada a = 5, r = 2. 6. terim için a6 = 5·2^(6-1) = 5·32 = 160. İlk 5 terimin toplamı S5 = 5·(2^5 - 1)/(2 - 1) = 5·31 = 155. Alternatif olarak toplama yaparak da kontrol edebilirsiniz: 5 + 10 + 20 + 40 + 80 = 155. Sonsuz toplamı tanımsız çünkü |r| ≥ 1. Yine aynı dizide her üç terim a, b, c için b^2 = ac bağlantısını kontrol edelim: 10^2 = 5·40 => 100 = 200 yanlış, doğru nokta şu: b^2 = ac üç ardışık terim için çalışır; a = 5, ar = 10, ar^2 = 20 için (ar)^2 = a·(ar^2) eşitliği doğru ve 10^2 = 5·20 => 100 = 100 doğru. Bu özellik gerçekten de 2., 3. terimler için çalışmaz, dizinin her üç ardışık terimi için genelleme geçerlidir: ar, ar^2, ar^3 için (ar^2)^2 = (ar)·(ar^3) eşitliği sağlanır. Şarkı kısmını da unutmayalım: “Sonsuz toplam, küçük r, a bölü eksi r…”; bu nakarat formülü hatırlamanızı kolaylaştırır. Dersin ana kavramlarını özetleyelim: a, r, an = ar^(n-1), S_n = a(1 - r^n)/(1 - r), S∞ = a/(1 - r) ancak |r| < 1'de geçerli, b^2 = ac özelliği, ters dizinin 1/r ortak oranı. Bu bilgileri pekiştirirseniz hem TYT/AYT hem de lise müfredatında soruları rahatlıkla çözersiniz. Geometrik dizilerin özelliklerini iyi bilin, formülü türevleyin ve en az 10 soru çözün; bu sayede konuyu gerçekten içselleştirirsiniz.