6 Sınıf Matematik Ortak Bölenler ve Katlar şarkısı

Hepimiz zaman zaman eşit parçalara bölmek, belirli günlerde bir araya gelmek ya da en iyi seçeneği bulmak durumunda kalırız. Matematikte “Ortak Bölenler ve Katlar” konusu, tam da bu tür durumlarda işimizi kolaylaştırır. Bir sayının bölenleri, o sayıyı tam olarak bölen tüm sayılardır; katları ise o sayıyı katlayarak elde edilen tüm sayılardır. Örneğin 12 sayısı 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’ye tam bölünür; bunlar 12’nin bölenleridir. Katlarını da düşünelim: 12, 24, 36, 48, 60… İki sayı ortak bölenlere sahip olduğunda, ortak bölenlerin en büyüğü “En Büyük Ortak Bölen” (EBOB), ortak katların en küçüğü ise “En Küçük Ortak Kat” (EKOK) olarak adlandırılır. Konuyu günlük hayattan bir örnekle yaklaştıralım. Okulda bir etkinlik için iki kulübün her 6 günde ve 8 günde bir buluşması gerekiyor. Ne sıklıkta aynı günde buluşurlar? Burada EKOK sorulur: 6 ve 8’in ortak katlarının en küçüğü kaçtır? Listeyle düşünelim: 6’nın katları 6, 12, 18, 24, 30… 8’in katları 8, 16, 24, 32… Görüldüğü gibi ilk ortak kat 24’tür. Yani her 24 günde bir aynı günde buluşurlar. Şimdi tam tersini düşünelim. Tarla satırı 18 cm ve 24 cm uzunluğundaki kısa çubuklarla düzgün bölünmek isteniyor. En uzun çubuğun kaç cm olması gerekir? Bu sefer EBOB: 18 ve 24’ün ortak bölenleri 1, 2, 3, 6’dır. En büyüğü 6’dır. Yani 6 cm’lik çubuk, hem 18 hem 24 cm’lik satırları tam olarak böler. Peki EBOB ve EKOK nasıl bulunur? Çarpan ağacıyla asal çarpanlara ayırma çok etkili bir yöntem. 36 ve 60 sayısı üzerinden gösterelim: - 36: 2 × 2 × 3 × 3 (Asal çarpanlar: 2² · 3²) - 60: 2 × 2 × 3 × 5 (Asal çarpanlar: 2² · 3 · 5) EBOB için kesişimdeki en küçük kuvvetleri alırız: 2² ve 3 → 4 × 3 = 12. EKOK için birleşimdeki en büyük kuvvetleri alırız: 2², 3², 5 → 4 × 9 × 5 = 180. Bu yöntemle sayıları “kutu”ya benzetebilirsiniz: EBOB, kutudaki ortak deliklerden en büyüğünü; EKOK ise kutunun bütün boşluklarını kaplayan en küçük örtüyü seçmek gibidir. Ayrıca ikili sayılar için EBOB ve EKOK arasında şu ilişki vardır: EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b. Örneğin 36 ve 60 için 12 × 180 = 2160, yine 36 × 60 = 2160’dır. Bu kural, soruları hızlıca kontrol etmek veya eksik bilgiyi tamamlamak için idealdir. İleri sınıflarda öklidyen algoritmayla EBOB buluruz; iki sayının farkı ya da mod işlemleriyle kalanı küçülterek EBOB’a ulaşırız. Bu yöntem büyük sayılarda da hızlıdır. Günlük hayat örnekleri saymakla bitmez. Bir pastanın eşit dilimlere bölünmesi, spor kulüplerinin aynı günde antrenman planlaması, kırtasiyede şerit ve fiş doldurma işlemleri, kısa bir programı birden fazla işlemciye verimli şekilde dağıtma gibi durumlarda EBOB ve EKOK kullanılır. Ayrıca “bölünebilme” kuralları EBOB/EKOK sorularında ipucu sağlar: Bir sayının 2 ile bölünebilmesi için son basamağı çift, 5 ile bölünebilmesi için son basamağı 0 veya 5, 10 ile bölünebilmesi için son basamağı 0 olmalıdır. Bu kurallar, sayıların asal çarpanlarını tahmin etmemize ve EBOB/EKOK işlemlerini hızlandırmamıza yardımcı olur. Son olarak, konunun zihin modelini sağlamlaştırmak için birkaç küçük alıştırma yapalım. 14 ve 21’in EBOB’u 7, EKOK’u 42’dir. 9 ve 15’in EBOB’u 3, EKOK’u 45’tir. 20 ve 30’un EBOB’u 10, EKOK’u 60’tır. Eğer soruda “en büyük ortak çarpan” deniyorsa, EBOB; “en küçük ortak kat” deniyorsa, EKOK demektir. Şarkının tekrarlarıyla bu adımları kalıcılaştırabilir, şarkı söyleye söyleye EBOB/EKOK’u ezberden çıkarıp mantıkla bulabilirsiniz.