7. Sınıf Matematik - Çokgenlerin Köşegenleri, İç ve Dış Açıları şarkısı

7. sınıf matematik müfredatında çokgenler ünitesi, kenar ve açı ilişkilerini öğretmenin yanında köşegenlerin doğasını da keşfetmenizi sağlar. Bugün köşegenleri, iç ve dış açıları formüllerle anlayıp sınav tipi örneklerle güçlendireceğiz. Çokgen, n tane doğru parçasının ardışık uçlarının birleşmesiyle oluşan, düzlemin içinde kapalı bir şekil veren birleştirilmiş şekildir. Düzgün çokgenlerde tüm kenar uzunlukları ve iç açılar eşittir; düzgün olmayan çokgenlerde ise eşitlik aranmaz. İlk adımımız, çokgenin kaç köşeye sahip olduğunu n ile ifade etmektir. n değerini bilmek, köşegen sayısını ve iç açı toplamını hesaplamanın anahtarıdır. Bir köşegenden bir köşe, komşu olmayan başka bir köşeye çizilen doğru parçasıdır. Buna göre bir köşeden (n-3) tane köşegen çizilebilir. Tüm köşeleri tek tek sayarsak toplam n(n-3) olur, ancak her köşegen iki kez sayıldığı için 2’ye böleriz. Böylece bir n-genin köşegen sayısı n(n-3)/2 olur. Örneğin, beşgen için 5(5-3)/2 = 5 tane; ongen için 10(10-3)/2 = 35 tane; karede 4(4-3)/2 = 2; üçgende ise 3(3-3)/2 = 0 çıkar. Bu formülü bilmek, sınavlarda en hızlı kazandıran kısımdır. Şimdi iç açılara geçelim. Bir n-genin iç açı ölçüleri toplamı (n-2) × 180°’dir. Bunun nedeni çokgenin (n-2) sayıda üçgenin toplamı olarak düşünülmesidir. Bir köşegen çizerek ya da bir köşeden komşu olmayan noktalara çizgi çekerek çokgeni parçalara ayırdığınızda, her parçanın iç açıları toplamı üçgen toplamına denk gelir. Örneklerle pekiştirelim: üçgen için (3-2)×180 = 180°; dörtgen için 360°; beşgen için 540°; altıgen için 720°. Düzgün çokgenlerde her bir iç açı (n-2)×180/n olur. Altıgenin iç açısı 120°, beşgenin 108°, dörtgenin 90°’dir. Dış açılar ise her köşede iç açının doğrusal tamamlayıcısıdır; yani bir iç açı ile aynı köşedeki dış açı her zaman 180°’ye tamamlar. Çok önemli bir kural: düzlemsel düz üstü bir çokgenin (konveks) dış açıları toplamı daima 360°’dir. Bunun nedeni, köşe çevresinde dönerken yapılan toplam dönüşün 360° olmasıdır. Düzgün çokgenlerde bir dış açı 360/n olur; örneğin düzgün beşgenin bir dış açısı 72°, düzgün altıgeninkinin 60°, düzgün dörtgeninkinin 90°’dir. Eşkenar dörtgende iç açılar farklı olsa bile dış açılar toplamı yine 360° kalır. Bu bilgileri uygulamak için kısa sorularla pratik yapalım. Düzgün bir beşgenin bir iç açısı 108°, bir dış açısı 72° olur. Düzgün bir sekizgenin bir dış açısı 360/8 = 45°; bir iç açısı 135°’dir. Bir 13-genin köşegen sayısı 13(13-3)/2 = 65’tir. İç açıları toplamı (13-2)×180 = 1980°; bir dış açısı 360/13 ≈ 27,7°’dir. Şarkıyla hatırlamak isterseniz: “Üçgen üç, dörtgen dört; köşegen n(n-3)/2; dış açı toplamı 360, iç açı toplamı (n-2)×180; iç ile dış birlikte 180 olur!”